CALEIDOSCOPI E MATEMATICA

martedì, 05 maggio 2009

CALEIDOSCOPI E MATEMATICA

   


 

  

 

Fotografie all'octascopio (Dolcetta)

Per il Carnevale della Matematica [2]

"Caleidoscopio è una parola di origine greca che significa visore di belle immagini .

Il caleidoscopio è la realizzazione commerciale di uno dei pochi esperimenti fisico-matematici che sia protetto da un brevetto.

Fu il fisico scozzese David Brewster a ottenere il 10 luglio 1817 la patente per questo giocattolo. Nel 1819 scrisse anche un testo intitolato Treatise on the Kaleidoscope rendendo così popolare il suo tubo.

Che cosa c'è in un caleidoscopio che valga la pena di essere patentato? Come per tutti i brevetti, occorre innanzitutto che vi sia un problema e che se ne fornisca poi la soluzione tecnica. Il problema che Brewster si pose fu la produzione di bei modelli ottici; la soluzione che brevettò consistette nell'uso di specchi. [...] (Albrecht Beutelspacher, Le meraviglie della matematica, Ponte alle Grazie, pagg. 50-51)

Coxeter, la geometria nata dal caleidoscopio

"Il caleidoscopio è stato uno dei curiosi punti di partenza degli studi matematici di Harold Scott MacDonald Coxeter, lo strumento che si serve di specchi e pezzetti di vetro colorati per creare infinite strutture simmetriche.

Nel 1933, riuscì a classificare i caleidoscopi a più dimensioni, iniziando così il suo percorso verso la geometria oltre la terza dimensione.

Ha dato inoltre un grande contributo alla teoria dei politopi, oggetti complessi di n-dimensioni, che non esistono nel mondo reale, ma che possono essere descritti matematicamente. Riportiamo un disegno sulla costruzione di un politopo, per dare un’idea della bellezza degli oggetti ai quali Coxeter ha dedicato le sue attenzioni.

Questo giustifica anche l’interesse che molti artisti hanno avuto per gli studi di Coxeter. Molti dei lavori più famosi di Escher riflettono proprio le idee sui politopi di Coxeter, e la serie di incisioni “Circle Limit” trae ispirazione dai suoi studi sugli spazi a n-dimensioni.

Coxeter e Escher rimasero amici fino alla scomparsa dell’artista nel 1972. Nel 1996 Coxeter pubblicò un’analisi del "Circle Limit III" di Escher in cui dimostrava la precisione matematica dell’opera.

“Escher ha raggiunto il suo risultato per istinto, mentre io ci sono arrivato attraverso la trigonometria. Ma il suo lavoro è assolutamente preciso, al millimetro. Sfortunatamente non è vissuto tanto a lungo da poter vedere la mia esposizione matematica”.

(Progetto Polymath - Coxeter, la geometria nata dal caleidoscopio)

domenica, 12 ottobre 2008

domenica, 12 ottobre 2008

I numeri primi e il mistero di Riemann

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Questa figura mostra la distribuzione dei numeri primi tra tutti i numeri naturali, rappresentati come una spirale che imita l'aspetto dei semi al centro di un girasole. Per generare l'immagine sopra è stato usato il Python program. [ Math 1020 ] 

“I numeri primi sono i veri e propri atomi dell’aritmetica. Si definiscono primi i numeri interi indivisibili, cioè quelli che non possono essere scritti come prodotto di due numeri interi più piccoli. I numeri 13 e 17 sono primi, mentre il numero 15 non lo è, dato che può essere scritto come il prodotto di 3 e 5. I numeri primi sono gioielli incastonati nell’immensa distesa dei numeri, l’universo infinito che i matematici esplorano da secoli. Ai matematici i numeri primi infondono un senso di meraviglia: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…, numeri senza tempo che esistono in un mondo indipendente dalla nostra realtà fisica. Sono un dono che la Natura ha fatto al matematico. …

Eppure, a dispetto della loro apparente semplicità e della loro natura fondamentale, i numeri primi restano gli oggetti più misteriosi studiati dai matematici. In una disciplina che si dedica a trovare andamenti regolari e ordine, i numeri primi presentano la sfida estrema. Provate a esaminare un elenco di numeri primi. Scoprirete che è impossibile prevedere quando apparirà il successivo. L’elenco sembra caotico, casuale, e non fornisce alcun indizio al modo di determinare il suo prossimo elemento. L’elenco dei numeri primi è il ritmo cardiaco della matematica, ma è una pulsazione stimolata da un potente cocktail a base di caffeina:

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I numeri primi compresi fra 1 e 100:
il battito cardiaco irregolare della matematica. QUI

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Riuscite a trovare una formula che generi i numeri di questo elenco che vi dica qual è il centesimo numero primo? Questo problema affligge la mente dei matematici da secoli. Nonostante più di duemila anni di sforzi, i numeri primi sembrano vanificare ogni tentativo di inserirli in un semplice schema regolare."

Georg Friedrich Bernhard Riemann

Bernhard Riemann, matematico e fisico tedesco del XIX secolo, è uno dei giganti della matematica moderna. Era animato da una enorme passione, ma in particolare ebbe una magnifica ossessione per i numeri primi. Nel 1859, in un articolo intitolato "Sul numero dei primi minori di una certa grandezza" presentò una sua ipotesi per arrivare a comprendere l'armonia che si nasconde nel caos apparente della successione dei numeri primi. L'ipotesi avrebbe permesso di "trovare una formula per generare l'elenco dei numeri primi.

"Da secoli i matematici ascoltavano i numeri primi senza sentire altro che un rumore disorganizzato. Quei numeri erano come note disseminate completamente a caso sul pentagramma, in una confusione da cui non emergeva alcuna melodia riconoscibile. Ora Riemann aveva trovato delle nuove orecchie con cui ascoltare quei toni misteriosi. ... Percuotendo un'urna, Pitagora aveva svelato l'armonia musicale celata in una sequenza di frazioni. Mersenne ed Eulero, due grandi esperti di numeri primi, avevano creato la teoria degli armonici. Ma nessuno di loro ebbe il sospetto che ci fossero legami diretti fra musica e numeri primi. Quella dei numeri primi era una melodia che aveva bisogno di orecchie matematiche del XIX secolo per poter essere colta. Il mondo immaginario di Riemann aveva generato semplici onde che insieme potevano riprodurre le sottili armonie dei numeri primi."

"Nel 1866 gli eserciti d'Hannover e di Prussia si scontrarono a Gottinga. Riemann si trovò bloccato nei locali in cui allora alloggiava,... A giudicare dallo stato in cui li lasciò, Riemann dovette partire in fretta e furia per l'Italia. Quello shock si rivelò eccessivo per la sua fragile costituzione. Sette anni dopo la pubblicazione del saggio sui numeri primi, Riemann morì di consunzione. Aveva solo trentanove anni.

Trovatasi a dover affrontare il disordine lasciato da Riemann, la sua governante distrusse molti dei suoi appunti inediti, prima che alcuni membri della facoltà di Gottinga la fermassero. Le carte sopravvissute furono consegnate alla vedova di Riemann e sparirono per anni. E' difficile resistere alla tentazione di azzardare ipotesisu cosa si sarebbe potuto trovare se la governante di Riemann non fosse stata così ansiosa di mettere in ordine il suo studio. ...

Alcuni appunti inediti che sopravvissero al fuoco della governante ricomparvero cinquant'anni dopo. La cosa frustrante è che da essi si deduce che Riemann aveva effettivamente dimostrato molto di più di quanto non avesse pubblicato."

Una domanda rimarrà, forse per sempre, senza risposta:

Riemann aveva trovato la soluzione dell'enigma dei numeri primi?

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Questo post è dedicato al Carnevale della Matematica organizzato da Annarita nel suo blog Matem@ticaMente.

Citazioni da: Marcus du Sautoy, L'enigma dei numeri primi, BUR, pagg. 14-16; 171-172; 185-186.

domenica, 21 settembre 2008

Armonie Matematiche

L'arte della matematica

The art of maths

Mathematical theory in sound and pictures 

"All'occhio non esercitato queste vivide immagini possono apparire come una raccolta casuale di spirali e cerchi colorati.  

Ma sono di fatto precise rappresentazioni visive della teoria matematica conosciuta come dynamical systems.
Alcune di queste immagini - create da matematici di tutto il mondo - sono state mostrate all'University of Liverpool.
Qui, il matematico Lasse Rempe spiega come sono state fatte - e prende in considerazione i loro meriti artistici." (BBC NEWS)
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Ho trovato questo show di diapositive nella sezione Science/Nature del sito della BBC NEWS. Immagine e titolo hanno un grande potere di attrazione, come il video che presenta in dissolvenza colori e suoni di una teoria matematica.  Non sono in grado, purtroppo, di tradurre il sonoro. Comunque mi beo di quanto vedo e delle mie fantasie.

sabato, 15 marzo 2008

Armonie del    

Il 14 marzo, per gli appassionati di Matematica è il Pi Day. Nei Paesi anglosassoni, infatti, la data si legge così: 3 14. Una coincidenza: Albert Einstein: è nato proprio il 14 marzo del 1879. "Abbiamo un Pi nei nostri occhi", si legge in una celebrazione della giornata fatta dalla BBC News (qui).

3.14 and the rest .

E' il Pi Day, il giorno in cui celebriamo la circular ratio. Ma perché ne siamo ossessionati?

Pi si può trovare nel disegno delle piramidi di Giza

Il numero pi greco, correttamente interpretato, contiene l’intera storia dell’umanità. Martin Gardner

"Non c'è solo la Festa della Mamma o quella del Papà, c'è anche la "Festa del Pi Greco". A lanciare l'idea del Pi Day è stato l'Exploratorium di San Francisco, il grande Museo della Scienza, che da alcuni anni, il 14 marzo celebra il numero più famoso e misterioso del mondo matematico, con una serie di giochi, musiche, filmati ed altre iniziative tutte ispirate al π." Questo è l'incipit di un  ricchissimo articolo nel sito del Progetto Polimath . Interessantissima questa parte (sempre nello stesso sito):

"Segnaliamo l'idea più originale: convertire le cifre del pi greco in una sequenza musicale. Quella che si ottiene non è una successione di suoni disarticolati, ma un’affascinante melodia che sembra riflettere una struttura a noi sconosciuta, interna al pi greco stesso, una melodia che riflette l’infinito. Spielberg, se l’avesse conosciuta, l’avrebbe sicuramente usata per il suo messaggio musicale, dei terrestri nei loro “incontri ravvicinati del terzo tipo. Possiamo ascoltare questa musica collegandoci a questi link, dove vengono illustrati anche i vari metodi adottati per la conversione.

http://www.avoision.com/experiments/pi10k/pi10k.html

Il sito offre anche la possibilità di comporre delle personali musiche del pi greco.

http://www.kenjikojima.com/pi/htmlFiles/index.html

C’è un sorprendente chorus pi giapponese.

http://piworld.de/piworld/_piphon.htm

Armonie Matematiche

giovedì, 06 marzo 2008

Armonie Matematiche

"Le forme della matematica". 'Il sito del Dipartimento di Matematica dell’Università di Torino è dedicato alle superfici algebriche. Una sezione apposita contiene la descrizione teorica di queste curiose entità matematiche, mentre nelle altre si possono visionare direttamente i modelli, uno per tutti la nota superficie di Clebsh. Molti modelli sono stati realizzati nella realtà con materiali appositi, le cui foto si affiancano alle rappresentazioni virtuali.' [ QUI ]

La matematica è bella? Viaggiare tra le forme offerte dal Dipartimento di Matematica di Torino è un'esperienza estetica che rende visibile l'unità di conoscenze che di solito si immaginano separate o addirittura in opposizione. Di Matematica so poco, purtroppo. A questi livelli, poi, praticamente nulla, eppure non mi è impossibile intuire la grande meravigliosa trama di questo mondo. Il viaggio tra le "forme della matematica" è una bella avventura a tappe (per ogni tappa c'è un link). Qui voglio conservare il ricordo del passaggio da...

L'iperboloide rigato Equazione:

L'iperboloide a una falda è una superficie doppiamente rigata, ossia per ogni suo punto passano due rette che giacciono interamente sulla superficie. Pertanto le rette formano due insiemi, detti schiere, ciascuno dei quali ricopre interamente la superficie. Due rette della stessa schiera sono sghembe, mentre due rette di schiere diverse sono incidenti, eventualmente all'infinito.
Nel modello sintetico le due schiere di rette sono contraddistinte da colori diversi.

a...

Il paraboloide rigato Equazione:

Il paraboloide iperbolico è una superficie doppiamente rigata, ossia per ogni suo punto passano due rette che giacciono interamente sulla superficie. Pertanto le rette formano due insiemi, detti schiere, ciascuno dei quali ricopre interamente la superficie. Due rette della stessa schiera sono sghembe, mentre due rette di schiere diverse sono incidenti, eventualmente all'infinito.
Nel modello sintetico le due schiere di rette sono contraddistinte da colori diversi.
...e, camminando camminando, a La Superficie Diagonale di Clebsch [ QUI ]:

La Superficie Diagonale di Clebsch

Equazione:
 

"La superficie diagonale di Clebsch è una superficie cubica liscia, cioè non ha punti singolari. Su di essa vi sono esattamente 27 rette che si possono ammirare nella figura in fondo alla pagina.

Un teorema afferma che una qualsiasi superficie cubica liscia ha 27 rette, ma non sempre si possono vedere tutte, infatti esse possono essere immaginarie oppure possono trovarsi sul "piano all'infinito", per noi sfortunatamente irraggiungibile! La superficie diagonale di Clebsch ha invece tutte le 27 rette ben visibili. [...] Nell'immagine seguente è possibile visualizzare i vari gruppi di rette:"

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Link: Dipartimento di Matematica dell’Università di Torino

Armonie Matematiche

sabato, 05 gennaio 2008

Armonie Matematiche

Crowded street _ Yvonne Mous

 "Dove il mondo cessa di essere il palcoscenico delle nostre speranze e dei nostri desideri per divenire l'oggetto della libera curiosità e della contemplazione, lì iniziano l'arte e la scienza. Se cerchiamo di descrivere la nostra esperienza all'interno degli schemi della logica, entriamo nel mondo della scienza; se, invece, le relazioni che intercorrono tra le forme della nostra rappresentazione sfuggono alla comprensione razionale e pur tuttavia manifestano intuitivamente il loro significato, entriamo nel mondo della creazione artistica. Ciò che accomuna i due mondi è l'aspirazione a qualcosa di non arbitrario, di universale."

Einstein

Linda Allison _ New York

"Pittura frattale, la matematica è arte. Benoit Mandelbrot, presidente della giuria, è fiero del lavoro che centinaia di artisti da tutto il mondo hanno inviato per il contest di quest'anno. Mandelbrot, matematico e filosofo, è la persona che ha tramutato in realtà le geometrie frattali, formule matematiche che diventano forme e colori. Per l'edizione 2007 sono state scelte 49 opere finaliste, che diventeranno 15 nell'esposizione finale. Eccone alcune tra le più belle (t.t.)" [ La Repubblica, QUI ]

Pubblicato da Kataweb il 4 gennaio 2008 alle 18:59. 

CUBO CHE RUOTA

mercoledì, 07 novembre 2007

Questa figura mi piace per la sua assoluta stranezza. E' così un cubo che ruota? Bello, bellissimo. L'ho trovato in un sito tutto matematico dal nome tutto poetico, Il Giardino di Archimede,dove si può passeggiare fra la " Geometria delle Curve ".

"Studiare, tracciare, classificare, misurare linee curve è stata una delle principali occupazioni dei matematici, a cominciare dalla retta e dal cerchio, con i quali ebbe origine la geometria, fino alle complesse e un po' inquietanti forme dei moderni frattali.

Oggetti geometrici per eccellenza, le curve giocano nell'immaginario matematico il ruolo delicato di una zona di confine dove confluiscono attività diverse e talora contrapposte. Esse rinviano al disegno, al progetto, al costruire, ma insieme simboleggiano il gesto e la bellezza; allo stesso tempo oggetti dell'immaginazione e strumenti della tecnica." [ continua QUI ]

Simmetria nel caos dei numeri

domenica, 16 settembre 2007

L'infinita simmetria nel caos dei numeri

gli ultimi pitagorici

 Sono forse gli ultimi ( in ordine di tempo ) dei pitagorici: i membri di una tribù di matematici convinti che la natura e tutto il creato celi un ordine ineffabile e che il segreto di quest'ordine sia rintracciabile nei numeri e nei loro rapporti e che possa essere svelato dalle arcane simmetrie celate nella infinita successione dei numeri, fino a individuare il Mostro ( come affettuosamente lo definiscono ), la simmetria di tutte le simmetrie, espressa da un numero enorme che racchiude in sé tutte le simmetrie possibili concepibili dalla mente umana.

  
Su questa impervia strada si è lanciato anche Marcus du Satoy, matematico e divulgatore britannico, autore del fortunato L'enigma dei numeri primi, che ha trovato migliaia di lettori, probabilmente in gran parte digiuni di fondamenti logici e matematici, ma speranzosi di trovare una risposta metafisica alle loro inquietudini. Un divulgatore della matematica e matematico di una certa importanza egli stesso che adesso trascina tanti lettori nella affascinante vicenda umana e intellettuale dei "cacciatori di simmetrie" .

  
Con questo Il disordine perfetto,  du Sautoy intesse la narrazione dell'avventura intellettuale di un pugno di geni solitari e spesso ( l'autore, pure membro della tribù, lancia il sospetto ) affetti almeno in parte della sindrome di "Asperger", vale a dire l'autismo, con gustosi episodi che hanno costellato da cinquemila anni la ricerca dell'ordine supremo celato nei numeri. Un ordine che presupporrebbe l'esistenza nell' Universo di uno schema, che raffigurerebbe un ordine sovrapponibile al caos del mondo percepibile. In sostanza la negazione del disordine: anzi, proprio l'apparente disordine nel mondo celerebbe il suo intimo ordine. [...] Franco Prattico, La Repubblica, sabato 15 settembre 2007

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Scoprire che nel mondo, proprio ora, ci sono ancora dei pitagorici è stato entusiasmante.  Devo assolutamente andare a raccontarlo al vecchio della montagna che magari non lo sa. Magari!  Domani andrò a sfogliare Il disordine perfetto in libreria, ma temo che lo lascerò giù con una lacrima sulla mia ignoranza matematica.  

VORTICI

domenica, 09 settembre 2007

VORTICI

Maurits Cornelis Escher

da un libro dedicato all'opera di Escher:

"In Vortici ogni coppia di pesci dello stesso colore è correlata a un'omografia lossodromica ( se non teniamo conto della distorsione insufficiente del pesce più esterno ). Sono stati qui tracciati due lossodromi (cioè l'inverso di una spirale equiangolare ) che corrono lungo le spine dorsali dei pesci. Oltra a ciò, ogni coppia di pesci di diverso colore ( cioè uno scuro e uno chiaro ) è correlata a una antiomografia iperbolica ( prodotto di inversioni in tre cerchi, in modo tale che due sono non intersecanti mentre il terzo è ortoganale ad ambedue )."


["Maurits Corbelis Escher Le opere di Escher hanno una forte componente matematica. Sono molto amate da scienziati, logici, matematici e fisici che apprezzano l’ uso razionale di poliedri, distorsioni geometriche ed interpretazioni originali di concetti appartenenti alla scienza, sovente per ottenere effetti paradossali. Trasse dalla geometria delle spirali delle suggestive figurazioni, riuscì quasi ad evidenziare l’infinito quando tramutò le sue conoscenze matematiche in arte. Ne è esempio l’opera Vortici due lossodromie (la curva inversa alla spirale logaritmica) che seguono le spine dorsali dei pesci." in Pittura - Divulgazione e Museologia della Matematica ]

Armonia del Cosmo tra Numeri e Geometria

Armonia del Cosmo tra Numeri e Geometria

I pitagorici ritenevano che  "l'universo intero fosse armonia e numero" e che, di conseguenza, l'essenza ultima della realtà fosse la matematica. A questo proposito Aristotele dice:

"Per primi si applicarono alle matematiche e le fecero progredire, e, nutriti delle medesime, credettero che i principi di queste fossero principi di tutti gli esseri. E, poiché nelle matematiche i numeri sono per loro natura i principi primi, appunto nei numeri essi ritenevano di vedere, più che nel fuoco nella terra e nell'acqua, molte somiglianze con le cose che sono e che si generano [...]; e inoltre poiché vedevano che le note e gli accordi musicali consistevano nei numeri, e, infine, poiché tutte le altre cose, in tutta la realtà, parevano a loro che fossero ciò che è primo in tutta quanta la realtà, pensarono che gli elementi del numero fossero elementi di tutte le cose, e che tutto quanto l'universo fosse armonia e numero" [ Metafisica, A 5, 985-6 ]

Pitagora e i pitagorici vedevano nei numeri le proprietà e le ragioni dell'armonia dell'universo, e, come Eraclito, pensavano che gli opposti si congiungessero in un principio di armonia.

Il pitagorico Filolao descrive questo principio come "unità del molteplice e concordia del discordante".

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Immagini dal WEB: 1. ?; 2. Mathematical Sciences at the University of Florida >>>QUI<<<