CALEIDOSCOPI E MATEMATICA

martedì, 05 maggio 2009

CALEIDOSCOPI E MATEMATICA

   


 

  

 

Fotografie all'octascopio (Dolcetta)

Per il Carnevale della Matematica [2]

"Caleidoscopio è una parola di origine greca che significa visore di belle immagini .

Il caleidoscopio è la realizzazione commerciale di uno dei pochi esperimenti fisico-matematici che sia protetto da un brevetto.

Fu il fisico scozzese David Brewster a ottenere il 10 luglio 1817 la patente per questo giocattolo. Nel 1819 scrisse anche un testo intitolato Treatise on the Kaleidoscope rendendo così popolare il suo tubo.

Che cosa c'è in un caleidoscopio che valga la pena di essere patentato? Come per tutti i brevetti, occorre innanzitutto che vi sia un problema e che se ne fornisca poi la soluzione tecnica. Il problema che Brewster si pose fu la produzione di bei modelli ottici; la soluzione che brevettò consistette nell'uso di specchi. [...] (Albrecht Beutelspacher, Le meraviglie della matematica, Ponte alle Grazie, pagg. 50-51)

Coxeter, la geometria nata dal caleidoscopio

"Il caleidoscopio è stato uno dei curiosi punti di partenza degli studi matematici di Harold Scott MacDonald Coxeter, lo strumento che si serve di specchi e pezzetti di vetro colorati per creare infinite strutture simmetriche.

Nel 1933, riuscì a classificare i caleidoscopi a più dimensioni, iniziando così il suo percorso verso la geometria oltre la terza dimensione.

Ha dato inoltre un grande contributo alla teoria dei politopi, oggetti complessi di n-dimensioni, che non esistono nel mondo reale, ma che possono essere descritti matematicamente. Riportiamo un disegno sulla costruzione di un politopo, per dare un’idea della bellezza degli oggetti ai quali Coxeter ha dedicato le sue attenzioni.

Questo giustifica anche l’interesse che molti artisti hanno avuto per gli studi di Coxeter. Molti dei lavori più famosi di Escher riflettono proprio le idee sui politopi di Coxeter, e la serie di incisioni “Circle Limit” trae ispirazione dai suoi studi sugli spazi a n-dimensioni.

Coxeter e Escher rimasero amici fino alla scomparsa dell’artista nel 1972. Nel 1996 Coxeter pubblicò un’analisi del "Circle Limit III" di Escher in cui dimostrava la precisione matematica dell’opera.

“Escher ha raggiunto il suo risultato per istinto, mentre io ci sono arrivato attraverso la trigonometria. Ma il suo lavoro è assolutamente preciso, al millimetro. Sfortunatamente non è vissuto tanto a lungo da poter vedere la mia esposizione matematica”.

(Progetto Polymath - Coxeter, la geometria nata dal caleidoscopio)

I Solidi Stellati

lunedì, 08 ottobre 2007

I Solidi Stellati

Le Stelle di Escher

Stelle 1948

Stelle 1948

I Quattro Solidi Stellati di Keplero-Poinsot 

Il Piccolo Dodecaedro Stellato di Paolo Uccello sul pavimento di San Marco a Venezia

Armonia secondo Filolao

martedì, 18 settembre 2007

Armonia

secondo Filolao di Crotone (o di Taranto?)

"Intorno a natura ed armonia le cose stanno così: la sostanza delle cose, che è eterna, e la natura stessa, richiedono una conoscenza divina, non umana; oltre che poi sarebbe impossibile che alcuna delle cose esistenti diventasse da noi conosciuta, se non avesse a fondamento la sostanza delle cose che formano il cosmo, cioè delle terminanti e delle interminate. Ma poiché i principii erano essenzialmente non simili fra loro né omogenei, sarebbe stato impossibile creare con essi un cosmo, se non fosse intervenuta armonia, comunque ella abbia avuto origine. E certo le cose simili e le omogenee non avrebbero avuto alcun bisogno di armonia; bensì le dissimili e le eterogenee o di serie diversa hanno bisogno di essere collegate da un tal genere di armonia, per la quale possano restare unite in cosmo."

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E' estasiante questo ragionamento che un po' si avviluppa su se stesso e si avvita in idee concentriche simili all'idea di cosmo che tenta di enucleare come da profondità abissalmente remote. Se solo una mente divina può comprendere l'essenza della natura, la mente umana può solo cogliere l'evidenza delle cose in virtù degli elementi che le rendono conoscibili. La conoscenza, quindi, è nelle cose stesse che formano il cosmo, e l'armonia, "comunque ella abbia avuto origine", è ciò che rende possibile la composizione mutevole di cose esse stesse mutevoli nel loro attuarsi.

Per assonanza ricordo Dante che a Beatrice fa dire: «Le cose tutte quante /
hanno ordine tra loro, e questo è forma / che l'universo a Dio fa simigliante». [Paradiso, I, 103-105]

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Testo da: Pitagorici. Testimonianze e frammenti, La Nuova Italia, Firenze, pagg. 203-207

VORTICI

domenica, 09 settembre 2007

VORTICI

Maurits Cornelis Escher

da un libro dedicato all'opera di Escher:

"In Vortici ogni coppia di pesci dello stesso colore è correlata a un'omografia lossodromica ( se non teniamo conto della distorsione insufficiente del pesce più esterno ). Sono stati qui tracciati due lossodromi (cioè l'inverso di una spirale equiangolare ) che corrono lungo le spine dorsali dei pesci. Oltra a ciò, ogni coppia di pesci di diverso colore ( cioè uno scuro e uno chiaro ) è correlata a una antiomografia iperbolica ( prodotto di inversioni in tre cerchi, in modo tale che due sono non intersecanti mentre il terzo è ortoganale ad ambedue )."


["Maurits Corbelis Escher Le opere di Escher hanno una forte componente matematica. Sono molto amate da scienziati, logici, matematici e fisici che apprezzano l’ uso razionale di poliedri, distorsioni geometriche ed interpretazioni originali di concetti appartenenti alla scienza, sovente per ottenere effetti paradossali. Trasse dalla geometria delle spirali delle suggestive figurazioni, riuscì quasi ad evidenziare l’infinito quando tramutò le sue conoscenze matematiche in arte. Ne è esempio l’opera Vortici due lossodromie (la curva inversa alla spirale logaritmica) che seguono le spine dorsali dei pesci." in Pittura - Divulgazione e Museologia della Matematica ]

L'armonia nel pensiero di Eraclito

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L'opposto concorde e dai discordi bellissima armonia.

Tutte le cose sono diverse e opposte, ma si compongono in una unità superiore:

"Tutte le cose sono uno"

dice Eraclito. 

Il filosofo Emanuele Severino spiega così il pensiero di Eraclito:

"Ciò che vi è di identico in ogni cosa è la contrapposizione stessa di ogni cosa alle altre. Ciò che è 'comune' a ogni cosa è questa sorta di 'contesa' [pòlemos], soltanto nella quale le cose possono diventare e rimanere ciò che sono: se la vita non fosse in contesa, e cioè non si opponesse alla morte, il caldo al freddo, il giorno alla notte, la sazietà alla fame, non esisterebbero vita, caldo, giorno, sazietà. La discordanza , il contrasto, l'opposizione sono lo stesso principio di concordanza, armonia, unità delle cose."

L'etimologia aiuta a comprendere il significato di armonia come concordia, accordo perfetto: il greco harmonìa deriva dal verbo harmózein che vuol dire congiungere, comporre, dal calco harmós, giuntura.

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Non comprendono come, pur discordando in se stesso, è concorde: armonia contrastante, come quella dell'arco e della lira.

"E il divenire delle cose ha una particolare importanza per Eraclito, perché nell'universo visibile è il legame che unisce gli opposti: la pace nasce dalla guerra, la guerra dalla pace, si riscaldano le cose fredde e si raffreddano quellle calde. Anzi, nel divenire, tanto il contrasto e l'opposizione delle cose, quanto l'unità degli opposti si presentano nel modo più manifesto: basta che qualcosa si realizzi, ad esempio la gioventù, che subito il suo contrario la raggiunge e la gioventù precipita nella vecchiaia e vi si identifica."

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L'armonia nascosta vale di più di quella che appare.

"Nel divenire ogni cosa diventa il suo contrario, e in ciò è l'espressione visibile di quella 'armonia nascosta' in cui consiste il Dio come originaria unità degli opposti."

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Eraclito,  Peri fusewV  [Sulla Natura], Frammenti
Emanuele Severino, La filosofia dai greci al nostro tempo, BUR, I, pagg. 58-59