domenica, 12 ottobre 2008

domenica, 12 ottobre 2008

I numeri primi e il mistero di Riemann

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Questa figura mostra la distribuzione dei numeri primi tra tutti i numeri naturali, rappresentati come una spirale che imita l'aspetto dei semi al centro di un girasole. Per generare l'immagine sopra è stato usato il Python program. [ Math 1020 ] 

“I numeri primi sono i veri e propri atomi dell’aritmetica. Si definiscono primi i numeri interi indivisibili, cioè quelli che non possono essere scritti come prodotto di due numeri interi più piccoli. I numeri 13 e 17 sono primi, mentre il numero 15 non lo è, dato che può essere scritto come il prodotto di 3 e 5. I numeri primi sono gioielli incastonati nell’immensa distesa dei numeri, l’universo infinito che i matematici esplorano da secoli. Ai matematici i numeri primi infondono un senso di meraviglia: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…, numeri senza tempo che esistono in un mondo indipendente dalla nostra realtà fisica. Sono un dono che la Natura ha fatto al matematico. …

Eppure, a dispetto della loro apparente semplicità e della loro natura fondamentale, i numeri primi restano gli oggetti più misteriosi studiati dai matematici. In una disciplina che si dedica a trovare andamenti regolari e ordine, i numeri primi presentano la sfida estrema. Provate a esaminare un elenco di numeri primi. Scoprirete che è impossibile prevedere quando apparirà il successivo. L’elenco sembra caotico, casuale, e non fornisce alcun indizio al modo di determinare il suo prossimo elemento. L’elenco dei numeri primi è il ritmo cardiaco della matematica, ma è una pulsazione stimolata da un potente cocktail a base di caffeina:

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I numeri primi compresi fra 1 e 100:
il battito cardiaco irregolare della matematica. QUI

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Riuscite a trovare una formula che generi i numeri di questo elenco che vi dica qual è il centesimo numero primo? Questo problema affligge la mente dei matematici da secoli. Nonostante più di duemila anni di sforzi, i numeri primi sembrano vanificare ogni tentativo di inserirli in un semplice schema regolare."

Georg Friedrich Bernhard Riemann

Bernhard Riemann, matematico e fisico tedesco del XIX secolo, è uno dei giganti della matematica moderna. Era animato da una enorme passione, ma in particolare ebbe una magnifica ossessione per i numeri primi. Nel 1859, in un articolo intitolato "Sul numero dei primi minori di una certa grandezza" presentò una sua ipotesi per arrivare a comprendere l'armonia che si nasconde nel caos apparente della successione dei numeri primi. L'ipotesi avrebbe permesso di "trovare una formula per generare l'elenco dei numeri primi.

"Da secoli i matematici ascoltavano i numeri primi senza sentire altro che un rumore disorganizzato. Quei numeri erano come note disseminate completamente a caso sul pentagramma, in una confusione da cui non emergeva alcuna melodia riconoscibile. Ora Riemann aveva trovato delle nuove orecchie con cui ascoltare quei toni misteriosi. ... Percuotendo un'urna, Pitagora aveva svelato l'armonia musicale celata in una sequenza di frazioni. Mersenne ed Eulero, due grandi esperti di numeri primi, avevano creato la teoria degli armonici. Ma nessuno di loro ebbe il sospetto che ci fossero legami diretti fra musica e numeri primi. Quella dei numeri primi era una melodia che aveva bisogno di orecchie matematiche del XIX secolo per poter essere colta. Il mondo immaginario di Riemann aveva generato semplici onde che insieme potevano riprodurre le sottili armonie dei numeri primi."

"Nel 1866 gli eserciti d'Hannover e di Prussia si scontrarono a Gottinga. Riemann si trovò bloccato nei locali in cui allora alloggiava,... A giudicare dallo stato in cui li lasciò, Riemann dovette partire in fretta e furia per l'Italia. Quello shock si rivelò eccessivo per la sua fragile costituzione. Sette anni dopo la pubblicazione del saggio sui numeri primi, Riemann morì di consunzione. Aveva solo trentanove anni.

Trovatasi a dover affrontare il disordine lasciato da Riemann, la sua governante distrusse molti dei suoi appunti inediti, prima che alcuni membri della facoltà di Gottinga la fermassero. Le carte sopravvissute furono consegnate alla vedova di Riemann e sparirono per anni. E' difficile resistere alla tentazione di azzardare ipotesisu cosa si sarebbe potuto trovare se la governante di Riemann non fosse stata così ansiosa di mettere in ordine il suo studio. ...

Alcuni appunti inediti che sopravvissero al fuoco della governante ricomparvero cinquant'anni dopo. La cosa frustrante è che da essi si deduce che Riemann aveva effettivamente dimostrato molto di più di quanto non avesse pubblicato."

Una domanda rimarrà, forse per sempre, senza risposta:

Riemann aveva trovato la soluzione dell'enigma dei numeri primi?

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Questo post è dedicato al Carnevale della Matematica organizzato da Annarita nel suo blog Matem@ticaMente.

Citazioni da: Marcus du Sautoy, L'enigma dei numeri primi, BUR, pagg. 14-16; 171-172; 185-186.